SALTA, 18 de Noviembre de 2.008.-


Expediente Nº 8.550/08.-

Res. D. Nº 447/08.-


VISTO: Estas actuaciones por las que la Prof. Liliana Estela Valdez, docente responsable de la asignatura ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS, Carrera de Profesorado en Matemática, Plan de Estudios 1997, eleva Programa Analítico y Régimen de Regularización, para su consideración y aprobación; y,


CONSIDERANDO:


Que, la propuesta, obrante a fs. 2/4 de las presentes actuaciones, cuenta con dictamen favorable de: Comisión de Carrera del Profesorado en Matemática (fs. 04 vta.); Departamento de Matemática (fs. 05) y Comisión de Docencia e Investigación del Consejo Directivo (fs. 05 vta.).

Que, conforme lo dispone el Artículo 113, inciso 8) del Estatuto Universitario corresponde al Consejo Directivo entender sobre el particular.

POR ELLO: Y, atento a las atribuciones delegadas por Resolución C.D. Nº 281/02.

EL DECANO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS

(Ad-referéndum del Consejo Directivo)

RESUELVE:


ARTICULO 1º.- Aprobar, Programa Analítico y Régimen de Regularización de la asignatura ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS, Carrera de Profesorado en Matemática, Plan de Estudios 1997, que como Anexo I, forma parte del presente artículo.


ARTICULO 2º.- Hágase saber y notifíquese a: Cátedra de Estructuras Algebraicas (Prof. Liliana Estela Valdez); Comisión de Carrera del Profesorado en Matemática; Departamento de Matemática; Dirección General Académica; Departamento Archivo y Digesto y Dirección de Alumnos de esta Facultad, para su toma de razón, registro y demás efectos. Cumplido, ARCHIVESE.


RMD.





ANEXO I - Hoja 1

Artículo 1º - Resolución D. Nº 447/08

Expediente Nº 8.550/08.-


PROGRAMA ANALITICO


Unidad 0: Revisión de nociones básicas.

Conjunto de partes. Función biyectiva. Composición de funciones. Propiedades. Función inversa. Imagen de un conjunto por una función. Imagen inversa de un conjunto por una función. Propiedades. Relaciones. Particiones. Relaciones de equivalencia. Clase de equivalencia. Conjunto cociente. Propiedades. Relación de equivalencia asociada a una partición.


Unidad 1: Estructuras Básicas

Leyes de composición interna. Monoides. Leyes fundamentales. Semigrupos. Grupos. Primeras pro- piedades. Grupos especiales: grupos relacionados con congruencias en Z .El grupo de las biyecciones de un conjunto: grupos de permutaciones. Orden de un grupo. Subgrupos. Definición y propiedades. Condición suficiente y necesaria para subgrupos. Intersección de subgrupos. Subgrupos generados: Subgrupo generado por un conjunto. Caracterización. Subgrupo generado por un elemento. Grupo cíclico. Propiedades. Orden de un elemento. Propiedades de los grupos finitos y su relación con el orden de sus elementos.


Unidad 2: Congruencia y normalidad

Relación de congruencia módulo un subgrupo. Congruencia a izquierda y congruencia a derecha. Co-clases. Conjunto cociente. Teorema de Lagrange. Índice de un subgrupo Aplicación del teorema de Lagrange. Subgrupos normales. Propiedades. Grupo cociente. Homomorfismo de grupos. Propiedades. Núcleo de un homomorfismo. Propiedades. Teorema de correspondencia entre homomorfismos y subrupos. Teorema de factorización de isomorfismos. Teoremas de isomorfismo: Primero, segundo y tercer teorema. Clasificación de los grupos cíclicos.

Unidad 3: Estructuras algebraicas: Anillos

Definición y propiedades básicas de anillos. Anillos conmutativos y con identidad. Divisores de cero. Elementos inversibles (unidades). Dominio de integridad. Anillos de división. Cuerpos. Característica de un anillo. Subanillos. Ideales. Propiedades. Ideal generado por un conjunto. Relación de equivalencia definida en un ideal. Anillo cociente. Homomorfismo de anillos. Núcleo e Imagen de un homomorfismo de anillos. Epimorfismo canónico. Teorema fundamental de homomorfismos de anillos. Teoremas de isomorfismos de anillos: Primero, segundo y tercer teorema.

Unidad 4: Anillos de polinomios

Sucesiones formales sobre un anillo. Operaciones y propiedades sobre las sucesiones. Anillos de polino- mios. Teorema sobre la forma canónica de un polinomio en una variable. Raíz de un polinomio. Grado de un polinomio. Raíces múltiples. Propiedades básicas. Operaciones. Algoritmo de la división de polinomios. Teorema del factor. Divisibilidad en un anillo de polinomios. Teorema sobre el número máximo de raíces de polinomios sobre dominios de integridad. Raíces racionales de un polinomio. Teorema de la raíz compleja de un polinomio en R.[x] .


Unidad 5: Grafos

Grafos. Grafos dirigidos. Valencia de entrada y de salida. Nodo aislado. Subgrafo. Subgrafo esencial maximal. Homomorfismos de grafos. Caminos. Caminos simples. Ciclos. Grafos acíclicos. Matriz de adyacencia asociada a un grafo. Teorema sobre el número de caminos y ciclos. Grafos no dirigidos. Matriz booleana asociada a una relación finita. Representación de relaciones mediante grafos. Clausuras reflexiva, simétrica y transitiva de una relación. Propiedades básicas.


Unidad 6: Conjuntos parcialmente ordenados

Relación de orden. Orden parcial. Diagrama de Hasse. Orden total. Cadenas. Elementos minimales y maximales. Cotas inferiores y superiores. Cota inferior máxima y superior mínima. Cadena bien ordenada. Reticulados. Propiedades básicas. Redes algebraicas. Algebra de Boole.


PROGRAMA DE TRABAJOS PRACTICOS


Trabajo Práctico N° 0: Revisión de conceptos previos.

Trabajo Práctico N° 1: Leyes de composición interna. Grupos.

Trabajo Práctico N° 2: Subgrupos de un grupo. Grupos cíclicos.

Trabajo Práctico N° 3: Subgrupo generado. Normalidad. Grupo cociente.

Trabajo Práctico N° 4: Homomorfismos de grupos.

Trabajo Práctico N° 5: Anillos. Dominio de integridad. Subanillos. Ideales

Trabajo Práctico N° 6: Homomorfismos de anillos.

Trabajo Práctico N° 7: Anillos de polinomios

Trabajo Práctico N° 8: Grafos.

Trabajo Práctico N° 9: Conjuntos parcialmente ordenados. Relaciones.


BIBLIOGRAFIA. BASICA


-Introducción a la Teoría de grupos. Zaldívar, Felipe. Sociedad Matemática Mexicana. 2006.

-A first Course in Abstract AIgebra- Fraleigh, J. Quinta Edición. Addison.

-Números, grupos y anillos. Dorronsoro José; Hernández, Eugenio. Addison-Wesley. Universidad

Autónoma de Madrid. 1996.

-Estructuras algebraicas I, Monografía N° 3. Serie de Matemática. Enzo Gentile. O.E.A. Edición

Actualizada 1977.

-AIgebra Elemental. Monografía N° 26. Serie de Matemática. Leopoldo Nachbin. O.E.A. 1986.

-AIgebra Moderna. Herstein. Ed. Trillas. México, 1983.

-AIgebra Abstracta. Herstein. Grupo Editorial Iberoamericano. 1986.

-Matemática Discreta. Ross y Wright. Prentice Hall. 1990.

-An Introduction to ALGEBRAIC STRUCTURES. Joseph Landin. Dover Publications. New York. 1989


BIBLIOGRAFIA DE CONSULTA


-AIgebra. Hungerford Thomas W. Ed. Springer Verlag. 1974

-A first Course in Abstract AIgebra. Rotman J. Second Edition. Prentice Hall

-Notas de AIgebra l. Enzo Gentile. Ediciones Previas. Eudeba.

-AIgebra Moderna. Birkhoff, Garrett. Ed. Vicens- Vives. Barcelona.

-Teoría de grupos. Marshall Hall, Jr. Trillas.

-Teoría de grupos. Dubreil. Ed. Reverté.


REGIMEN DE REGULARIZACION


Para regularizar la asignatura el estudiante deberá cumplir con los siguientes requisitos:


Firmado: Prof. María Elena Higa - Ing. Norberto A. Bonini

Secretaria Académica – Decano