SALTA, 19 de Setiembre de 2.006
Expediente Nº 8.494/06
RES. D. Nº 243 /06
VISTO:
Estas actuaciones relacionadas con la presentación del Programa de la asignatura FUNDAMENTOS DE LA MATEMATICA de la Carrera del Profesorado en Matemática ( Plan /97), realizada por el Dr. Camilo Alberto Jadur;
CONSIDERANDO:
Que el citado Programa, como el de Trabajos Prácticos a desarrollar y el Reglamento Interno de Cátedra, todos ellos obrantes a fs.02 a 04 de estos actuados fueron sometidos a la opinión de la Comisión de Carrera del Profesorado en Matemática ( fs.05);
Que se cuenta con el VºBº de la Comisión de Docencia obrante a fs, 05 de las presentes actuaciones;
POR ELLO, en el marco de las disposiciones reglamentarias vigentes y en uso de las atribuciones que le son propias;
EL DECANO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
R E S U E L V E:
ARTÍCULO 1º: Aprobar a partir del Período Lectivo 2006 el Programa de la asignatura FUNDAMENTOS DE LA MATEMATICA, como así también el Programa de Trabajos Prácticos y el Reglamento Interno de Cátedra, que fuera elevado por el Dr. Camilo Alberto Jadur para la Carrera del Profesorado en Matemática ( Plan/97); que como Anexo I, forma parte de la presente Resolución.
ARTÍCULO 2º: Hágase saber a la Comisión de Carrera del Profesorado en Matemática , al Dr. Camilo Alberto Jadur, a la División Archivo y Digesto y siga al Departamento de Alumnos para su toma de razón, registro y demás efectos. Cumplido, ARCHÍVESE.
NV
az
Asignatura: FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA
Carrera: Profesorado en Matemática
Departamento: MATEMATICA
Profesor Responsable: Dr. Camilo Alberto Jadur
Plan: 1997
Aprobado por Res. D. Nº 243/ 06
El cálculo de predicados: Lenguaje. Metalenguaje. Símbolos formales. Símbolos de predicados. Símbolos de constantes, de variables y de operaciones. Términos. Fórmulas.
Fórmulas atómicas. Subfórmulas. Variables libres y ligadas.
Axiomática para el cálculo de predicados. Deducciones. Demostraciones.
El cálculo proposicional: El cálculo proposicional en el contexto del cálculo de predicados. Teorema de la deducción. Algunos teoremas del cálculo de predicados. Tautologí}as. Teorema de la completitud del cálculo proposicional.
Cuantificadores: Reglas de especialización y de generalización. Regla C.
Cálculo de predicado con igualdad: Axiomas de igualdad.
Tema 2: CONSTRUCCION DE CONJUNTOS NUMERICOS
Axiomática de Peano para los números naturales: Conceptos primitivos y axiomas de Peano. Suma y producto de números. Orden. Propiedades (semigrupos conmutativos con identidad).
Sucesiones. Teoremas de recurrencia. Principio de inducción. Teorema sobre la buena ordenación de los números naturales.
Los números enteros: Definición. Suma y producto de enteros. Orden. Propiedades (dominio de integridad ordenado). Inmersión de los naturales en los enteros. Conjunto de elementos positivos.
Los números racionales: Definición. Suma y producto. Orden. Propiedades (cuerpo ordenado, orden denso, arquimediano). Inmersión de los números enteros en los números racionales. Subconjunto de elementos positivos.
Los números reales: Sucesiones en cuerpos ordenados. Sucesiones convergentes. Sucesiones de Cauchy. Definición de número real como clases de sucesiones de Cauchy. Suma y producto. Orden. Propiedades (cuerpo ordenado, arquimediano, completo). Inmersión de los números racionales en los reales.
Tema 3: SISTEMAS AXIOMATICOS Y TEORIAS DE PRIMER ORDEN
Sistemas axiomáticos: Términos primitivos. Definiciones. Axiomas. Consistencia, independencia y completitud de un sistema axiomático.
Teoría de primer orden: Teorías de primer orden finitamente axiomatizadas. Familia de proposiciones decidibles. Teorías de primer orden formales.
Consistencia: Consistencia por negación y consistencia absoluta. Teorema sobre equivalencia de ambas.
Completitud: Completitud por negación y completitud absoluta. Teorema sobre equivalencia de ambas.
Interpretación de un conjunto de fórmulas. Veracidad de una fórmula en una interpretación. Modelo. Teorías de primer orden categóricas. Relación entre categoricidad y completitud.
Tema 4: CONSISTENCIA (RELATIVA) DE LA GEOMETRIA EUCLIDIANA
Axiomatización de Hilbert para la geometría euclidiana: Conceptos primitivos. Grupos de axiomas. Grupo I: Axiomas de incidencia. Algunas consecuencias. Grupo II: Axiomas de orden. Algunas consecuencias. Grupo III: Axiomas de congruencia. Grupo IV: Axiomas de continuidad. Grupo V: El axioma de paralelismo. Consistencia de la geometría euclidiana, relativa a la teoría de números.
Tema 5: GEOMETRIAS NO-EUCLIDIANAS
Geometría Hiperbólica de Lobachevsky. Rectas paralelas, divergentes y secantes.Consistencia relativa de la geometría de Lobachevsky (caso bidimensional).
Geometría esférica de Riemann.
Espacios Proyectivos. Consistencia (relativa). Dimensión. Propiedad de Desargues. Independencia de la propiedad de Desargues en espacios proyectivos de dimensión dos (planos proyectivos). Teorema del cuadrivértice. Conjuntos cuadrangulares. Cuaternas armónicas.
Tema 6: PROGRAMA ERLANGER Y CLASIFICACION DE GEOMETRIAS
Grupos. Grupos de transformaciones. Geometría de un grupo. Grupo proyectivo. Invariantes proyectivos. Subgrupos principales: Grupo afín y grupo ortogonal. Invariantes afines y ortogonales.
Geometrías de Lobachevsky, de Riemann y de Euclides clasificadas en el sistema proyectivo.
Tema 7: LOS TEOREMAS DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL
Hilbert: ¿Axiomatización total y establecimiento de la consistencia
interna para la matemática?
Predicados expresables. Expresión. Números de Gödel. Omega -consistencia. Primer teorema de Gödel. El teorema de Gödel-Rosser. Segundo teorema de Gödel.
PROGRAMA DE TRABAJOS PRACTICOS
Trabajo Práctico Nº 1: EL CALCULO DE PREDICADOS
Trabajo Práctico Nº 2: CONSTRUCCION DE CONJUNTOS NUMERICOS: Los números
naturales.
Trabajo Práctico Nº 3: CONSTRUCCION DE CONJUNTOS NUMERICOS: Los números enteros.
Trabajo Práctico Nº 4: CONSTRUCCION DE CONJUNTOS NUMERICOS: Los números racionales.
Trabajo Práctico Nº 5: CONSTRUCCION DE CONJUNTOS NUMERICOS: Los números reales.
Trabajo Práctico Nº 6: TEORIAS DE PRIMER ORDEN
Trabajo Práctico Nº 7: CONSISTENCIA (RELATIVA) DE LA GEOMETRIA EUCLIDIANA
Trabajo Práctico Nº 8: GEOMETRIAS NO-EUCLIDIANAS
Trabajo Práctico Nº 9: GEOMETRIA PROYECTIVA
Trabajo Práctico Nº 10: PROGRAMA ERLANGER Y CLASIFICACION DE GEOMETRIAS
Trabajo Práctivo Nº 11: TEOREMAS DE GÖDEL
BIBLIOGRAFÍA BASICA Y DE CONSULTA
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E. Seidenberg, Elementos de Geormetría Proyectiva.
Compañía Editorial Continental, S.A. (CECSA). 1965
Requisitos para cursar: Tener regulares las siguientes asignaturas: Geometría Plana y Espacial, Aritmética Elemental y Análisis Matemático II. Además deberá tener aprobada Análisis Matemático I.
Requisitos para rendir: Tener aprobadas las siguientes asignaturas: Geometría Plana y Espacal, Aritmética Elemental y Análisis Matemático II.
Carga horaria semanal: 4 hs.
Duración: anual.
Metodología de trabajo: Clases Teórico – Prácticas, repartidas en dos días a la semana.
Condiciones de regularidad
Para obtener la condición de “alumno regular”, el alumno deberá aprobar tres exámenes parciales o sus respectivas recuperaciones. Cada uno de los exámenes parciales o recuperaciones se considerarán aprobados cuando se alcance al menos la nota 6 (seis), correspondiente al 60% (sesenta por ciento) del total propuesto.
Condiciones de aprobación:
Para aprobar la materia, el alumno debe aprobar un examen final.
Firmado:
Prof. María Elena Higa, Secretaria Académica
Ing. Juan Francisco Ramos, Decano